Análisis Matemático

Sea la función de utilidad tipo multiplicativa* de un consumidor representativo:

* Esta función es conocida como la función Cobb-Douglas en honor a dos economistas que la usaron para efectuar investigaciones económicas. Esta función es usada normalmente en la función de producción para efectuar análisis siguiendo la teoría del crecimiento.

U = Xa Yb

y su restricción presupuestal:

I = X Px + Y Py

cobb douglas

Si se simulan datos hipotéticos de una función de utilidad Cobb – Douglas en una hoja de cálculo obtenemos el gráfico de arriba donde se pueden apreciar una serie de curvas de indiferencia utilizando la función y parámetros que se señalan en el mismo gráfico y las respectivas cantidades de los bienes “X” e “Y”.

Continuando con el análisis y dado el principio del consumo óptimo, tenemos que:

( ∂U / ∂X ) / ( ∂U / ∂Y ) = Umgx / Umgy = Px / Py

y aplicando este principio a la función de utilidad anterior, tenemos que:

aX a-1Yb / bXa Yb-1 = Px / Py

resolviendo

aY/bX = Px/Py

y reemplazando en la restricción presupuestal, obtenemos la función de la demanda de ambos bienes:

X=[a/(a+b)](I / Px)

Y=[b/(a+b)](I / Py)

si efectuamos algunos arreglos:

X.Px/I = a/(a + b)

Y.Py/I = a/(a + b)

observamos que la proporción del gasto de cada uno de los bienes respecto al ingreso nominal depende de los coeficientes “a” y “b”. Es decir, la proporción del gasto del bien “X”, es igual que la proporción del coeficiente “a” respecto a la suma de los coeficientes “a “ y “b”; y la proporción del gasto del bien “Y”, es igual que la proporción del coeficiente “b” respecto a la suma de los coeficientes “a “ y “b”

Si los coeficientes “a” y “b” suman la unidad, entonces las proporción del gasto de “X” e “Y” es igual al coeficiente “a” y “b”, respectivamente.

Las funciones inversas de la demanda serán las siguientes:

Px = a/(a+b) I/X

Py = b/(a+b) I/Y

si derivamos ambas funciones, tenemos que:

dPx/dx= -a/(a+b) (I/X2)

dPy/dy= -b/(a+b) (I/Y2)

dichas ecuaciones nos dan la información que las curvas de demanda tiene pendiente negativa; y las segundas derivadas:

d2Px / dx2 = 2a/(a+b) (I/X3)

d2Py / sy2 = 2b/(a+b) (I/Y3)

nos dan la información que dichas curvas son cóncavas hacia arriba

Autor: O. Jack Ocrospoma Huerta

Como citar este artículo: 

Jaquito "Análisis Matemático" [en linea]
Dirección URL: https://www.zonaeconomica.com/node/1526 (Consultado el 12 de Dic de 2018)



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