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Significado de Función

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Osvaldo de la Fuente
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Se unió: 27 Jul 2006

Hola amigos foreros, estoy escribiendo un texto de microeconomía que quiero colgar aquí en Zonaeconomica. Quiero saber qué opinan de esta parte, si me estoy equivocando o si se puede mejorar:
[...]Por el lado de los costos, se introducirá una función de producción, que relaciona cantidades producidas (output) con cantidades de insumos (input). Vale aclarar que el término “función”, hablando en correcto lenguaje matemático, significa que para cada valor de “x” existe solo una “y”, sin embargo, en economía, encontramos “funciones de producción”, como la Leontieff, que para ciertas “x” devuelven mas de una “y”. Saludos,

Osvaldo

MARIAM JANET (no verificado)

HOLA QUOTE...LA FUNCION DE PRODUCCION SIGNIFICA EL MAXIMO RENDIMIENTO QUE SE PUEDE LOFRAR APROVECHANDO AL MAXIMO LOS RECURSOS...A LO QUE INTENTAS REFERIRTE ES AL COSTO DE OPORTUNIDAD, DONDE DICE QEU ES EL SACRIFICIO DE UN BIEN PARA OBTENER OTRO...DESDE EL PUNTO DE VISTA TUYO, SERIA REDUCIR LA PRODUCCION DE UN BIEN X PARA PRODUCIR MAS DE UN BIEN Y, BUSCANDO EL PUNTO OPTIMO TECNICO.

ciudadano_cero123 (no tenia ganas de loguearme) (no verificado)

disiento con el comentario de MARIAM JANET: tu definicion esta clara, aunque podrias borrarle el inicial "por el lado de los costos" para asi evitar cualquier inequivoco, y que quede simplemente: "por el lado de la produccion o de la oferta".
Quedate tranquilo Osvaldo, que tu definicion de funcion está bien. Es la relacion entre combinaciones de input para obtener output, es decir, de insumos para obtener producto. Podrias agregarle que la definicion corresponde a la eficiencia tecnica definida como las combinaciones en las cuales no existe otro proceso productivo que utilice menos de algún factor y no más del otro para obtener el mismo nivel de producto. Si no se esta suponiendo la eficiencia tecnica, entonces no tenes una funcion de produccion sino un conjunto de produccion (los elementos interiores del conjunto son tecnicamente ineficientes, los frontera son eficientes).

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Osvaldo de la Fuente
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Se unió: 27 Jul 2006

OK, gracias por los comentarios, creo que ahora me quedó claro con el comentario de ciudadano_cero123 . Si al concepto se le introduce la eficiencia técnica, se tiene una función desde el punto de vista matemático.

En realidad mi duda había surgido con la "función" de Leontieff, que, si no me equivoco, no sería función a no ser que se le incorpore la restricción de la eficiencia técnica.

Ahora a ver si me pueden dar una mano con ejemplos de funciones de producción. La Cobb Douglas es Y = K(1/2)*L(1/2), se les ocurren otras?

Saludos,

Osvaldo

ciudadano_cero123
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Estrella Azul
Se unió: 4 Mayo 2006

en primer lugar, los coeficientes (exponentes) de la cobb-douglass no necesariamente tienen que ser (1/2) cada uno. pueden adoptar cualquier valor, asi que mejor pon (alfa) y (beta), asi lo expresas en terminos mas generales
Puedes poner la de coeficientes de Leontieff, que es
y=min(x1/a;x2/b) (x1 y x2 son los insumos)
se te pueden ocurrir las que quieras, ninguno estará mal.
Aquella que los factores tienen perfecta sustuibilidad (elasticidad de sustitucion infinita) es
y= ax1+bx2
Otras funciones (parecidas a la de Leontieff) son
y=min(ax1-bx2;cx1-dx2)
otra puede ser y=min(ax1+bx2;cx1+dx2)
y despues no se....se creativo, por ejemplo, tu sabes que una cuadratica invertida y corrida a la derecha está bien.
ej: y=-[(x-5)(x-5)]+20

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Francisco Espinosa
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Se unió: 3 Dic 2006

Hola Osvaldo, yo generalizaría la función Cobb-Douglas aun más:

Y = ?  Xi?i

Es decir, como la productoria de los "n" insumos de la firma, cada uno elevado a un coeficiente "alfa sub-i" que, si los "n" coeficientes suman 1, indica la participación del i-ésimo insumo en la producción. Esta expresión de la Cobb-Douglas se me ocurrió al chequear trabajos prácticos de mi curso de microeconomía y ver que en un ejercicio teníamos más de dos insumos. Díganme si les parece bien cómo la escribí por favor!

Saludos, Francisco

ciudadano_cero123
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Estrella Azul
Se unió: 4 Mayo 2006

Francisco: esta buena la idea de generalización, pero me surgen varias dudas/sospechas de que no esté del todo correcta.

La formulación que planteas es Y = ?  Xi?i

lo que vendría a ser, para un ejemplo de 3 insumos, lo siguiente:

Y= (a1X1b1).(a2X2b2).(a3X3b3)

Los coeficientes no representan "participaciones" sino "elasticidades". Si la sumatoria de los coeficientes da igual a 1 significa que existen rendimientos constantes a escala.

Para que algún coeficiente sea "participación" la función tendría que ser del siguiente tipo:

Y= a1X1+a2X2+a3X3   siendo (a1+a2+a3)=1

Pero claramente esa no es una función Cobb-Douglass.

Saludos!

ciudadano

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Francisco Espinosa
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Se unió: 3 Dic 2006

Perdón, me confundí con la preferencias, que en ese caso sí, si lo coeficientes de la Cobb-Douglas suman 1, representan la participación de cada bien en el gasto del consumidor. De hecho le propuse a mi profesor de Macroeconomía la siguiente idea para calibrar modelos (con preferencias Cobb-Douglas):

Podemos definir a la fórmula del IPC como sigue:

IPCt = SUMATORIA [ ai ( Pti / Poi ) ]

Donde:

  • "0" está fechando el precio del i-ésimo bien en el año base.
  • ai = Poi xoi / [SUMATORIA ( Poi xoi )]

(Pongo "a" en lugar de ALFA porque si no aparecen los signos de interrogación, y voy a poner "b" en lugar de BETA... y no voy a fechar ni precios ni cantidades).

Resolviendo un "problema del consumidor" de tipo

Max U (x1 ; x2) = A x 1a x2b

{x1 ; x2} S.t.: P1x1 + P2x2 = m

(igual y no menor o igual dado que las preferencias de tipo Cobb-Douglas son monotonas)

Resolviendo el problema obtenemos los "óptimos" (*):

x1* = a m/P1 ; x2* = b m/P2 ( si a + b = 1 )

Reescribiendo los resultados:

a = P1x1 / m

b = P2x2 / m

Es decir

  • a = P1x1 / ( P1x1 + P2x2 )
  • b = P2x2 / ( P1x1 + P2x2 )

Esta es la fórmula que teníamos para el "ai" del IPC!

El problema es que la canasta de bienes y servicios que se usa para medir el índice podría no contener los bienes que se pretendan usar en el modelo. Pero bueno... ustedes qué piensan? Servirá?

Saludos y suerte. Francisco

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Francisco Espinosa
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Se unió: 3 Dic 2006

Ciudadano, decime que pensás...

Tenemos una función de PRODUCCIÓN Cobb-Douglas con dos insumos: capital y trabajo.

Y = A Ka Lb

El problema de maximización nos lleva a que:

  • a A K a - 1 Lb = W/P (1)
  • b A Ka Lb - 1 = r + d (2) (d en lugar de DELTA: tasa de depreciación)

En (1) multiplicamos m.a.m. por K, y en (2) por L. Tenemos:

  • a A Ka Lb = W L / P
  • b A Ka Lb = (r + d) K

O sea:

  • a Y = W L / P
  • b Y = (r + d) K

WL/P vendría a ser el costo REAL del factor trabajo (lo defino CRL), y (r + d) K el costo REAL del factor capital (CRK). Por lo tanto:

  • a = CRL / Y
  • b = CRK / Y

Igual hasta ahora esto costos, y es lo mismo que hice en el comentario anterior con las preferencias...

Por otro lado, con participación yo quería decir "lo que genera el i-ésimo factor sobre la producción total". Y (siceramente) corríjanme si me equivoco!...

Sabemos que la productividad marginal del i-ésimo factor mide cuánto varía el producto ante una variación infinitesimal de dicho factor. Si a esto lo multiplicamos por la cantidad TOTAL de factor empleada en la producción obtenemos cuánto "produjo "ese factor a lo largo de todo el proceso productivo. El sentido que yo le dí a PARTICIPACIÓN sería (matemáticamente) un ratio entre lo que "produjo" el factor y la producción total... es decir (paso a paso):

PMgxi = dY / dxi

"Producció total" del factor: PMgxi xi = [ dY / dxi ] xi

Y, finalmente, "participación": PMgxi xi / Y = [ dY / dxi ] [ xi / y ]

O sea... ELASTICIDAD... Si el razonamiento que acabo de hacer está bien con el ciudadano estamos hablando de lo mismo!

Saludos

Francisco

ciudadano_cero123
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Estrella Azul
Se unió: 4 Mayo 2006

Leí detenidamente tu razonamiento, lapiz en mano. Un par de observaciones de pequeños detalles y luego una observación mas importante de por que el razonamiento (a mi criterio, y espero fundamentarlo bien) me deja muchas dudas (que sería bueno le lleves a tu profesor de confianza y le preguntes.)

Como señalás, tenemos una funcion Cobb-Douglass: Y = A Ka Lb

El problema de maximización es el de maximizar beneficios, entonces es el siguiente:

Max pY-wL-rK (omito la depreciación para simplificar), siendo w el salario nominal y r la retribución nominal al factor capital.

El lagrangiano sería el siguiente: pA Ka Lb -wL-rK

Hacemos la derivada con respecto al factor trabajo y la igualamos a cero:

b A Ka Lb - 1-w=0  ----> entonces tenemos que b A Ka Lb - 1 = (w/p) 

Fijate entonces que tu ecuación (2) está mal, le has errado al derivar. Lo mismo sucedió con la ecuación (1). No es nada importante y podemos seguir el razonamiento por vos planteado.

Entonces tenemos las siguientes ecuaciones corregidas:

  • a A K a - 1 Lb = r/P (1)
  • b A Ka Lb - 1 = w/P (2)

Estas ecuaciones dicen solamente que la retribucion real de un factor es la productividad marginal del mismo. El primer miembro en (1) es la PMgK, siendo el segundo termino su retribución real (r/p). En (2) es lo mismo con respecto al trabajo.

Luego se multiplica m.a.m, (1) por K y (2) por L. Se obtiene lo siguiente:

  • a A Ka Lb = rK / P
  • b A Ka Lb = wL / P

Efectivamente, los miembros a la derecha del igual representan el monto de beneficios reales y el monto de salario reales pagados. Es decir, como vos nominaste, el CRK y el CRL.

Ahora es donde viene una observación/duda importante. Vos estás trabajando con funciones de produccion Cobb-Douglass, que son funciones de producción homogeneas y que tienen ciertas propiedades deseables, entre ellas el hecho de que son homoteticas. Es decir, que si los precios relativos (r/w) se mantienen inalterados el sendero de producción (o sea, las combinaciones optimas de K y L para distintos niveles de producción) se dan a lo largo de un rayo, de forma que la relación entre K y L se mantiene inalterada.

¿A que voy con todo esto? A que tu razonamiento me parece que se deriva en parte del hecho de que son funciones de producción homotéticas. Si (r/w) se mantiene constante, entonces (K/L) se mantiene constante para distintos niveles de producción. Por ende, para distintos niveles de producción (rK/wL) se mantiene constante, o lo que es lo mismo decir, la participación (en los costos y en la producción) se mantiene inalterada.

Si cambia la relación (r/w), entonces cambiará (K/L) según la elasticidad sustitución de la función de producción. La unica manera de que la participación (rK/wL) entre factores se mantenga constante para distintintas relaciones de precio (r/w) es que la elasticidad sustitución sea unitaria, de modo que lo que aumente porcentualmente (r/w) sea lo mismo que decrece porcentualmente (K/L). Es aquí donde tengo dudas. Dado que los coeficientes son paramentros fijos, debemos concluir que no pueden ser participaciones a menos que la elasticidad de sustitucion sea unitaria.

Ahora me pregunto: ¿que hacemos con todo el razonamiento que hiciste vos? ¿en que punto está mal? Confieso que no puedo encontrar a las claras el error (si es que lo que planteo yo aquí está bien, es decir, suponiendo que hay un error).

Para resumir tu analisis, se me ocurrió hacer el siguiente ejercicio simplificador: sabemos que los coeficientes de una funcion de producción Cobb-Douglass son iguales al (PMg/PMe) de algún factor. Para el caso aquí planteado sería:

a= (PMgK/PmeK)

b= (PMgL/PmeL).

En base a esto se ve claramente tu planteo (y en forma un poco mas sintantetizada). Dado que PMeL = (Y/L), en (b) puedo pasar el L que está dividiendo el denominador para arriba, es decir, que multiplique el numerador. Tendríamos entonces:

b= [(PMgLxL)/Y]

A esto tu llamas participación, y el razonamiento es claro. Claramente, el monto de salarios sobre el nivel de producto es la participación del factor trabajo.

Como me pediste, te dejo lo que pienso: un mar de dudas y ninguna certeza.

Conclusión: el razonamiento me parece a priori bien, y sencillo, sin embargo no se como hacer para compatibilizarlo con otras cuestiones que también me parecen claras y sencillas y que contradicen lo que vos planteaste. Pero por cierta intuición y tendencia a valorar mas las cuestiones sencillas, me inclino un poco por tu razonamiento.

Saludos, y espero que alguno que pueda arrojar luz lo haga, y consulten con su economistas teóricos amigos.

ciudadano

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Francisco Espinosa
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Se unió: 3 Dic 2006

Ciudadano, gracias por continuar con este tema. Tal como vos decís veo que los dos razonamientos son correctos y contradictorios entre sí pero tampoco yo se en qué punto alguno de los dos (o los dos!) se equivoca. Con respecto al problema de maximización derivé al revés! jaja... Me gustaría saber qué pensás (como también qué piensa el resto del foro) sobre mi propuesta para calibrar modelos con funcíones Cobb-Douglas.

Saludos y suerte

Francisco

ciudadano_cero123
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Estrella Azul
Se unió: 4 Mayo 2006

Te daría mi opinión, pero honestamente no se que es "calibrar un modelo". Si me explicás, a lo mejor...

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Francisco Espinosa
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Se unió: 3 Dic 2006

No me quiero hacer el docto porque no lo soy, y menos en cuestiones de Investigación, pero "calibrar" se usa generalmente cuando a un modelo se le quiere poner datos, números. No se si tiene otra acepción en la jerga o si implica algo más que eso. En este caso si queremos utilizar "aplicar" un modelo con preferencias de tipo Cobb-Douglas a la realidad, nos faltarían cosas como los parámetros ALFA y BETA, al poner números en lugar de esas letras se está calibrando al modelo. Mi propuesta sería: suponiendo que en el modelo el bien 1 es el azúcar y en el IPC el ponderador del azúcar es 0.01, en lugar de ALFA poner 0.01.

Saludos y suerte

Francisco

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